Two-way data matrix representative syntheses of a three-way data matrix

Abstract

In questo lavoro sono studiate alcune matrici individui-variabili che sono delle sintesi rappresentative della matrice a tre indici individui-variabili-occasioni. Negli ultimi anni alcuni autori hanno definito matrici individui-variabili, che nella loro terminologia , costituiscono un compromesso,una sintesi, una media della matrice a tre indici . Sebbene queste matrici abbiano lo scopo comune di riassumere le caratteristiche della matrice a tre indici data, esse possiedono differenti proprietà ed apparentemente non hanno nulla in comune fra loro. Per questa ragione è interessante: 1) definire quali proprietà devono essere necessariamente possedute dalle sintesi rappresentative delle matrici a tre indici; 2) individuare se esistono matrici con queste proprietà. E' naturale assumere che una matrice individui-variabili è una sintesi rappresentativa di una matrice a tre indici se: a) essa minimizza lo scostamento fra se stessa e la matrice a tre indici sull'insieme delle possibili matrici individui-variabili , secondo una prefissata distanza tra una matrice a tre indici e una a due indici; b) soddisfa la proprietà di internalità che può essere definita estendendo alle matrici la proprietà di internalità di una media individuata da Cauchy. Nella sezione 3 sono indicate alcune distanze tra una matrice a tre indici ed una a tre indici; nella sezione 4 sono individuate la matrice mediana e la matrice media aritmetica che godono delle proprietà a) e b); nella sezione 5 si mostra che la matrice di Rizzi è una sintesi rappresentativa di quella mattrice a tre indici, che si ottiene dando alcuni pesi particolari alle variabili della matrice a tre indici originaria, mentre la matrice di Escoufier, sebbene sia stata definita compromesso, non possiede le proprietà a) e b) . Utilizzando una opportuna distanza tra le matrici a tre indici e quella a due indici si può definire una nuova sintesi, che possiede anche il vantaggio di riassumere meglio quelle matrici individui-variabili che spiegano la più ampia variabilità della matrice a tre indici. Nella sezione 6 , allo scopo di comparare differenti sintesi rappresentative della matrice a tre indici e di dare delle ragioni intuitive per la scelta di una matrice anzicchè di altre , vengono presentati alcuni esempi.