On the factors explaining the power of some goodness-fit tests

Abstract

E' noto universalmente che i vari test di adattamento difendono bene rispetto a certe alternative, e assai meno bene rispetto ad altre. Prendendo in esame alcuni test, rappresentativi della classe dei test di adattaménto che dipendono dalla funzione di ripartizione campionaria (Kolmogorov-Smirnov, Cramér-von Mises ecc.), si è indagato sui fattori che principalmente influenzano il comportamento di questi test, fissando l'attenzione sul caso di ipotesi nulla Ho completamente specificata. Dato che i test in questione dipendono dalle osservazioni attraverso la trasformazione della variabile originaria per mezzo della funzione di ripartizione sotto Ho, si è voluto innanzitutto indagare sugli effetti di questa trasformazione sotto vari tipi di alternative. Esemplificando mediante due funzioni di ripartizione particolarmente sémplici, si è poi verificato che per una piccola dimensione campionaria sono fattori decisivi (1) la variabilità delle statistiche ordinali della distribuzione uniforme U (0,1), e (II) l'andamento della derivata della funzione di ripartizione effettiva (supposta continua per ipotesi). Si è infine osservato—anche per mez-zo di appropriate esemplificazioni— che la distanza tra la funzione di ripartizione effettiva e quella sotto Ho diventa il fattore decisivo al crescere della dimensione campionaria; in pratica, tale distanza prende sicuramente il sopravvento sui primi due fattori quando la dimensione campionaria supera il valore di cento.